Fourieranalyse van een zaagtand

DFT van willekeurige analoge signalen

Het doen van een fouriertransformatie van een willekeurig analoog signaal is nog geeneens zo eenvoudig. Je verzandt daarbij vaak in onoverzienbaar rekenwerk. In die gevallen kan gemakkelijk inzicht worden verkregen via de omweg van digitalisering van het signaal en het uitvoeren van een Discrete Fourier Transformatie (DFT). Zo doen tenslotte computers het ook.

Een voorbeeld

picure of a sawtooth wave

Hoe staat het met de sterkte van de grondtoon en de harmonischen van zo'n zaagtandvormig signaal?

Omdat dit een periodiek signaal is moet het zijn opgebouwd uit een grondgolf met frequentie:

f = 1/T
en harmonischen met frequenties 2f, 3f, 4f enz.

Het is nu voldoende om te kijken naar één periode van het input signaal G(t), en dus ook naar één periode van de grondgolf en twee, resp. drie perioden (enz.) van de harmonischen.

Voor de fouriertransformatie moeten we óók kijken naar de cosinussen. Als je dat doet zul je zien dat bij dit zaagtandvormige signaal bij vermenigvuldigen (zie verderop) de uitkomsten steeds op nul uit komen. De cosinussen geven in dit geval dus geen bijdrage.

Hiernaast zie je het originele signaal en de sinussen van de grondtoon met frequentie f en de sinussen van de tweede en derde harmonische.

Fouriertransformatie

Om de sterkte van de verschillende componenten te weten moeten we het originele signaal punt voor punt vermenigvuldigen met de sinussen van de grondtoon resp. de harmonischen. Voor blokvormige signalen met alleen maar waarden 0, 1 en -1 is dat gemakkelijk, maar nu met een continu veranderend signaal, is dat een stuk ingewikkelder. Maar goed, even doorbijten. Voor ons zaagtandsignaal gaat dat er dan ongeveer zo uitzien:

	Hier zien we de zaagtand vermenigvuldigd met de sinus van de grondtoon. Een beetje een vreemde vorm. Vanuit het midden gezien is het iets van:x . sin(x) waarvan het oppervlak onder de lijn bepaald moet worden (integreren).
	En zo ziet het er uit voor de tweede harmonische, met frequentie 2f. Natuurlijk moet het oppervlak onder de 0-lijn worden afgetrokken, maar we zien al wel dat het resultaat geen nul zal zijn.
	En dit is de derde harmonische met frequentie 3f. Ook hier zal het resultaat zeker niet nul zijn.

Digitaliseren en de DFT

Om een aardig idee te krijgen zonder integralen op te lossen en gonioformules te evalueren kunnen we, net als de computer altijd doet, gaan digitaliseren. Een goede keuze blijkt het dan te zijn om een samplefrequentie te nemen van 12 maal de grondtoon.

	Bemonsteren met 12f betekent dat er geen frequenties hoger dan 5f in het signaal aanwezig zouden mogen zijn. Die zijn er vrij zeker wel, gezien de scherpe hoeken, maar we laten dat maar even zo. Wel is het dan zo dat we nu geen hogere harmonischen kunnen uitrekenen dan 5f. Willen we dat wel, dan moeten we een hogere samplefrequentie nemen, bijv. 24f of 48f of nog hoger. Met de PC is dat geen enkel probleem, maar voor "met de hand" een beetje veel werk.
	Natuurlijk moeten we ook de sinussen voor de grondtoon en de harmonischen samplen. Hier zie je dat voor de grondtoon: sin(30°), sin(60°), sin(90°) enz., hier en daar wat afgerond. Let op: de verticale schaal is wat uitgerekt t.o.v. de zaagtand.
	De twee gesamplede golfvormen worden dan sample voor sample met elkaar vermenigvuldigd. O, dat is gemakkelijk en zo pakt het dan uit.

Integreren wordt optellen, immers in een gesampled systeem bestaat er niets tussen de samples?

2,5 + 3,4 + 3 + 1,7 + 0,5 + 0 + 0,5 + 1,7 + 3 + 3,4 + 2,5 = 22,2

Zó eenvoudig is de DFT ...... Zelfs computers kunnen het.

De harmonischen

Voor de harmonischen gaat het nèt zo. Reken dat zelf eens uit, goede oefening. Er komt uit:

10,2 voor de tweede harmonische en
6 voor de derde harmonische.

Onnauwkeurigheden en evaluatie

Doordat er door de samples die we genomen hebben een golfvorm past, die veel minder "scherp" is, en dus minder hoge harmonischen bevat dan de zaagtand, klopt de uitkomst niet helemaal. Bovendien zijn de sinuswaarden wat afgerond en ook dat beïnvloedt de uitkomst. Door een hogere samplefrequentie te nemen en nauwkeuriger te rekenen wordt het allemaal beter.

De precieze uitkomsten voor een scherpe zaagtand hadden moeten zijn:
24 voor de grondtoon,
12 voor de tweede harmonsche,
8 voor de derde harmonische.
De verhouding: 1 : 1/2 : 1/3 enz.

Toch niet slecht voor zo'n grove benadering.

Ter controle het omgekeerde proces

Benieuwd hoe erg we het nu hebben mis gedaan? Dan gaan we eens zien hoe de golfvorm er uit gaat zien als we de harmonischen van 6f en hoger weglaten.

De wiebellijn is de grondtoon met de harmonischen 2 t/m 5.

Links zien we die over de zaagtand heen getekend en dan wiebelt hij er mooi omheen.

Rechts zien we de samples zoals we die van de zaagtand hadden genomen. Daar zit nogal wat afwijking in.

Eigenlijk hadden we ook de samples moeten nemen van de wiebellijn.

Omdat we dat niet gedaan hebben worden we nu gestraft doordat de harmonischen 7 en hoger van de zaagtand "terugvouwen" en een bijdrage (de z.g. Alias) leveren, positief of negatief, aan de uitgerekende sterkte van de grondtoon en de harmonischen 2 t/m 5. Daarom zat er dus een afwijking in de met de DFT berekende waarden.

Even spelen in Excel

Dit soort eenvoudigen rekentaakjes kun je leuk in Excel stoppen. Een afstudeerder heeft dat gedaan en het is aardig om daar eens mee te spelen. Je kunt er ook andere (gesampelde) golfvormen in stoppen en zien wat er gebeurt. Een beetje een nadeel is dat je zo niet meer precies ziet wat je aan het doen bent, want de golfvorm doet vermoeden dat het analoog is, maar het is wel degelijk digitaal met "maar" 12 samples per periode. De Excel-grafiek maakt er zelf weer iets pseudo-analoogs van.

Klik hier voor de Excel-file.